1957 in Köln geboren, begann er im Alter von sechs Jahren mit dem Klavierspiel. Ab 1975 studierte er an der Musikhochschule Köln Klavier und Trompete. Ein Jahr vor seinem Konzertexamen errang er 1981 den Preis des Deutschen Musikwettbewerbs. Seitdem konzertierte er regelmäßig als Solist – darunter bei zahlreichen Uraufführungen, wie bei dem für ihn im Jahre 2002 komponierten Trompetenkonzert Jet Stream von Peter Eötvös mit dem BBC Symphony Orchestra in London – und ist immer wieder zu Gast bei renommierten internationalen Musikfestivals.
Er arbeitete 25 Jahre lang intensiv zusammen mit seinem Vater, dem Komponisten Karlheinz Stockhausen, der zahlreiche Werke für ihn schrieb. Als Solist stand er u.a. in dessen großen musikdramatischen Werken aus LICHT auf den Bühnen der Mailänder Scala, der Londener Oper Covent Garden und der Oper Leipzig. Viele CDs im Stockhausen-Verlag dokumentieren diese Zusammenarbeit.

Markus Stockhausen ist immer wieder als Mitglied und Leiter verschiedener Improvisations- und Jazzformationen hervorgetreten. Mit seiner Frau, der holländischen Klarinettistin Tara Bouman konzertiert er seit 2002 erfolgreich als Duo Moving Sounds. Im Duo Inside Out spielt er mit dem Jazzpianisten Florian Weber, im Duo Landscapes mit dem Gitarristen Ferenc Snétberger, sowie im Quartett Quadrivium mit Angelo Comisso (piano) Jörg Brinkmann (Cello) und Christian Thomé (drums). Eternal Voyage heisst ein weiteres spannendes Projekt, eine ’One World Music’ mit Dinesh Mishra (Bansuri), Rabih Lahoud (Gesang), Florian Weber (Piano), Yonga Sun (Perkussion) und Tara Bouman.

Andere Musiker, mit denen er oft spielt(e) sind u.a. Arild Andersen, Patrice Héral, Vladislav Sendecki, Fabrizio Ottaviucci, der leider zu früh verstorbene Stefano Scodanibbio, Mark Nauseef und Joey Baron. Mit dem indischen Filmmusikkomponisten Sandesh Shandilya brachte er im Februar 2015 dessen neues symphonisches Werk Search For Buddha in Köln beim WDR zur Aufführung.
Gemeinsam mit seinem Bruder Simon Stockhausen realisierte er mehrere große Musikprojekte, (1991 die ’KölnMusikFantasy’ und 1996 ’Jubilée’ für die Kölner Philharmonie, mit über 100.000 Zuschauern open air am Rhein), schrieb Film- und Theatermusiken und produzierte mit ihm zuletzt die CD ’nonDuality’. Im der Saison 2012/13 wurde er zusammen mit Simon als „Artist in Residence“ von den Hamburger Symphonikern eingeladen.

Von 2000 –2010 etablierte er unter dem Titel Klangvisionen zusammen mit Rolf Zavelberg (Licht) eine eigene Konzertreihe mit 118 Konzerten mit Intuitiver Musik in der St. Maternus-Kirche in Köln, die auch überregional Beachtung fand.

Seit dem Jahr 2007 konzentriert sich Markus Stockhausen vorwiegend auf seine eigene schöpferische Arbeit, als Improvisator in verschiedenen Ensembles, als Interpret eigener Werke oder als Komponist.

So kann Markus Stockhausen auf einige Erfolge zurückblicken: Im Frühjahr 2004 wurden gleich drei neue Werke von ihm uraufgeführt: Ascent and Pause für Trompete und Streichorchester mit dem Orchestra d’Archi Italiana, Portrait for Tara für Bassetthorn und Ensemble, mit Tara Bouman und der London Sinfonietta, sowie Sonnenaufgang für das Jazz-Trio MAP mit dem Musikkollegium Winterthur. 2005 schrieb er Any Way für die Cheltenham Festival Players, 2006 Miniatur für die 12 Cellisten der Berliner Philharmoniker (CD Angel Dances), 2007 Symbiosis, ein halbstündiges Doppelkonzert für Klarinette und Trompete, uraufgeführt mit dem Franz Liszt Kammerorchester, und im September 2007 wurde Tanzendes Licht in Bern uraufgeführt, ein grosses Auftragswerk für das Swiss Jazz Orchestra und die Camerata Bern. Beim evangelischen Kirchentag 2007 in Köln erklang sein Abendglühen mit mehr als 1500 Blechbläsern und Solotrompete. 2009 entstand Olivers Abenteuer, eine Suite für Kinderorchester, 2011 die Stücke Yin und Yang als Auftragskompositionen für das Metropole Orkest, uraufgeführt beim Holland Festival. Für das Norddeutsche Philharmonische Akkordeonorchester schrieb er 2012 Ein Glasperlenspiel, ein umfangreiches Konzert mit Solotrompete, und für die Hamburger Symphoniker schrieb er ein großes Werk mit drei Solisten: Das Erwachende Herz, das im März 2013 uraufgeführt wurde.

Jedes Jahr gibt er viele Seminare, sei es in Deutschland, Griechenland, Italien oder den USA, Kreatives Trompetenspiel, Improvisationskurse Intuitive Music and More und Seminare unter dem Titel Singen und Stille – wenn die Seele singt. „Transformation durch Klang“ ist sein wiederkehrendes Thema.
Über 80 CD-Veröffentlichungen dokumentieren das Schaffen von Markus Stockhausen. 2016 erschien die neue Duo CD Alba von Florian Weber und Markus Stockhausen bei ECM. Im August 2017 erschien Far into the Stars, die neue CD von Quadrivium bei OKeh/Sony. 2005 wurde er mit dem WDR-Jazzpreis als bester Improvisator ausgezeichnet.
Im September 2017 wird ihm die Auszeichnung “Silberne Stimmgabel” des Landesmusikrates NRW verliehen, und im Oktober 2017 erhält er den renommierten JTI Jazz Award in Trier.